כמה משולשים אתה רואה

אין כמו בעיה מטורפת במתמטיקה, אשליה אופטית מכופפת-מוח, או חידת היגיון מפותלת לעצור את כל הפרודוקטיביות באזור מכניקה פופולרית משרד. אנו סקרנים מטבענו, אך אנו גם חולקים ביחד התעקשות עקשנית לכך נכון, לעזאזלוכך אנו נוטים לזרוק עבודה לצד הדרך בכל פעם שאנו נתקלים בבעיה עם מספר פתרונות שאפשר לכאורה.

הטיזר המוח המשולש הזה אינו חדש - צועק אל פופסוגאר ל חושף את זה לפני כמה שנים - אך בהתבסס על קסם אינטרנטי מוצל כלשהו, ​​הציוץ שלמטה הופיע מחדש בעדכוני היום והחל דיון חדש בנושא צוות העובדים שלנו. ערוץ רפוי, מקום שמור באופן מסורתי לרעיונות לחנויות עבודה, אך במקום זאת משמש בעיקר לצעקות על דברים אחרים שאנחנו מדי פעם הופכים אליהם תוכן.

מכיוון שאני מזוכיסט, ציירתי שוב את המשולש וביקשתי מכל הצוות להוריד מייד את מה שהם עושים ולנסות לפתור את השאלה הפשוטה: כמה משולשים אתה יכול למצוא?

אני אחסוך מכם את השיחה המלאה - סמכו עלי, אף אחד לא רוצה לראות זאת - אבל התגובות של הצוות נעו בכל מקום. כמה עורכים ראו ארבעה משולשים. אחרים ראו 12. מעטים ראו 6, 16, 22. עוד יותר ראו 18. נבון אחד ספר את המשולשים ב- A בשאלה עצמה, בעוד שנראה היה כי אחרת הייתה קיומית משבר: "אף אחד מהקווים האלה לא ממש ישר, אלא עקומות - אי אפשר להגדיר אף אחד מהם כמשולש," הוא אומר אמר. "בתמונה הזו אין משולשים. לחיים אין שום משמעות. "

לאחר מכן הצבנו את הבעיה לעוקבי אינסטגרם שלנו, שתגובותיהם גם ניהלו את הסולם, בין 5 ל -14 ל -37. למרות שאנו מכירים בסבירות הגבוהה לטרול כאן, ברור שאנשים מגיבים לבעיה בדרכים רבות ושונות.

יכולתי להקשיב לקולגות שלי להסביר את התהליכים המפוקפקים שלהם כל היום, אבל במקום זאת, הושטתי אל כמה מומחי גיאומטריה לבדוק אם נוכל להגיע לתשובה קונצנזוס. מתברר כי כמעט כל המתמטיקאים אליהם התקשרתי מצאו את אותו הפיתרון - אך לא כולם הבינו את זה באותה צורה.

אם אינך רוצה לדעת את התשובה עדיין, הפסיק לקרוא ולנסות קודם לפתור את הבעיה. אני אפגוש אותך כאן בסיום.

היי, זה היה מהיר. מוכנים לתשובה? שלא כמו כמה בעיות במתמטיקה ויראלית שהם מעורפלים בכוונה ופתוחים לפרשנות, לפיתרון זה יש למעשה פיתרון טרופי, ללא ספק, וזה 18. נשמע מכמה ממומחי הגיאומטריה מדוע.

"הייתי ניגש לזה ממש כמו שאחת ניגשת לכל בעיה מתמטית: צמצם אותה ומצא מבנה", אומר סילבסטר אריקסון-ביקה, ד"ר ד"ר, פוסט דוקטורט עם המתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס מחלקה.

הדרך היחידה ליצור משולשים בדמות שציירתי, אומר אריקסון-ביסק, היא אם הקודקוד העליון (הפינה) הוא חלק מהמשולש. לאחר מכן בסיס המשולש צריך להיות אחד משלושת המפלסים שמתחת. "יש שלוש דרגות, ובכל אחת מהן תוכלו לבחור בסיס מבין שש דרכים שונות. זה נותן 18, או 3 פעמים 6 משולשים. "

בואו נסתכל שוב על משולש הראשי.

"נוח להכליל למקרה שיש n קווים העוברים בקודקוד העליון, ו ע קווים אופקיים, "אומר פרנסיס בונהון, ד"ר ד"ר, פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת דרום קליפורניה.

במקרה שלנו, n = 4, ו- p = 3. כל משולש שנמצא בציור צריך להיות קודקוד עליון אחד ושני אחרים באותו קו אופקי, כך שבכל קו אופקי, מספר המשולשים עם שני קודקודים בקו זה שווים למספר הדרכים בהן אנו יכולים לבחור קודקודים אלה, אומר בונהון - כלומר מספר הדרכים בהן אנו יכולים לבחור שתי נקודות ברורות מתוך n, או "n בחר 2. "

זוכר את המתמטיקה בתיכון? זה n(n-1)/2. ומכיוון שיש ע קווים אופקיים, אומר בונהן, זה נותן P n(n-1) / 2 משולשים אפשריים. במקרה שלנו, זה 3x4 (4-1) / 2 = 18.

להלן פירוט נוח כיצד למצוא כל משולש אפשרי:

ג'והנה מנגהאס, ד"ר ד"ר, פרופסור עוזר למתמטיקה באוניברסיטה בבופלו, הגיעה גם היא לגיל 18 - תחילה באמצעות ספירת כוח ברוטה פשוטה, אחר כך דרך אותה ערמומית. קומבינטוריקה כאמור לעיל - אבל מודה שהטיזר במוח המשולש שלנו לא ממש מגניב כמו זה מפו-שן לוה, דוקטור, פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת קרנגי מלון באוניברסיטה פיטסבורג בהשתתפות ניו יורק טיימסשנה שעברה:

לתשובה זו יש תשובה מתמטית חלקה יותר, היא אומרת, מכיוון שכאן, ספירת משולשים זה אותו דבר כמו ספירת שילובים של שלוש שורות שנבחרו מתוך שש [6-select-3 = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1)].

"במקרה כזה, כל זוג קווים מצטלבים ואין צמתים משולשים או יותר, כך שכל בחירה משלושה נותנת תמיד משולש," אומרת מנגהאס. בתמונה ששלחתי לה, כמה קווים מקבילים, כך שהם לא יכולים להיות חלק מאותה משולש. "אם אתה לוקח את אותם שבע שורות ומטלטל אותם מעט, סביר להניח שהם היו סביר להניח נחת כמו בעיה של [לוה] והיו לך יותר משולשים ותשובה חמודה דומה. "(לרישום: 35.)

וואי. עדיין לא שיתפתי את הבעיה במשולש החדש הזה עם עמיתי לעבודה. אבל זה רק עניין של זמן עד שהם יגלו זאת - ויכו עוד קצת.

🚨עדכון חשוב 1/30/20🚨: מאז פרסום הסיפור הזה, רבים, רב הקוראים הושיטו ליידע אותי שאמנם 18 היא אכן תשובה מקובלת לבעיה זו, אך אינה זו רק אחת, בגלל פיקוח לא מכוון מצדי. יכולתי להקל על הקוראים בהרבה - ובאופן חיוני, הרבה יותר קל על תיבת הדואר הנכנס שלי - אילו רק הייתי משרטט את המשולש על נייר מחשב לבן רגיל. אבל לא.

לצערי ציירתי את המשולש הזה על נייר מרופד, והרבה אנשים חכמים הצביעו נכון כי, ובכן, בעצם, אם סופרים את הקווים הכחולים בהירים במקביל בתמונה בנוסף לקווים הכחולים כהים שנכתבו בסמן, יש כאן למעשה יותר מ- 18 משולשים כולל - משמעותית יותר. מעולם לא ציינתי להשתמש רק בקווים הכחולים כהים, וכך אני טועה. אתה צודק.

קורא אחד, ראלף לינסנגן, היה בבעלותי לחלוטין על ידי שליחת תמונה זו, בה הוא מסמן כל משולש נוסף שנמצא תחת הטכניות, וסמן 17 משולשים נוספים בסך הכל 35. הנה:

סוג זה של מסירות הוא רק אחת הסיבות הרבות שאני אוהבת מכניקה פופולרית קוראים. אנחנו לא יכולים לעבור שום דבר על פניכם. עד הטיזר הבא!

🚨עודכן מעודכן במשולש 1/31 / 20🚨: מאז פרסום העדכון האחרון שמעתי אפילו יותר מכם, המשיכו לרמות אותי - ואת חבריך הקוראים - על כך שלא שקלתי משולשים אפשריים נוספים. נשמע מהקורא דרק שניידר, ששלח גרפי אחר שהציע שיש 45 משולשים.

אם נעקוב אחר הכללים המקוריים, עם זאת, אני סופרת ותוספת 9 שהם מוגדרים (בירוק) וכאלה שיכולים להיות פתוח לפרשנות תלוי איך אתה ממקם חזותית את הקודקוד העליון (בסגול)... הייתי אישית סופרת זה.

הקורא כתב, באופן בוטה, באומרו שטעינו "שגיאה חמורה" בספירת המשולשים לאורך כל הדרך:

קח למשל את הפינה השמאלית התחתונה, הוא מראה חץ אחד למשולש אחד. עם זאת, ניתן להעלות על הדעת קוים כחולים בהירים אלה כשלושה משולשים בפינה אחת זו בלבד:

בעוד שחלק מאותם עשויים להתווכח במקצת (כלומר, במקומות שבהם בדיוק הקווים הכחולים בהירים מצטלבים בין הכהים ועושים הם מהווים מבחינה טכנית משולש או מרובע), ספרתי שבע משולשים נוספים שיכולים להתבצע בזה דרך. זה מביא את המספר הכולל של המשולשים ל 42.
החדשות הרעות הן שהחמצנו כמה משולשים. החדשות הטובות הן שהדבר מאשר שלמובן שיש לחיים משמעות לחיים, כפי שמעיד המספר המדויק: 42.

נקודה בולטת, באופן חריף. הקורא ג'יימס גודריץ 'עשה את זה צעד נוסף קדימה, והציע לנו לפתוח את דעתנו לשקול מה יכול להיות משולש:

ובכן, לדברי הקורא שלך, שהצביע על 17 משולשים נוספים (באמצעות "אנדרו לא ציין אילו קווים יכולים להכיל את 3 הקצוות של סעיף משולש), ולא הצליחו למצוא די הרבה יותר. קח, למשל, את המשולש המיני משמאל למטה בתוספת "עדכון חשוב" ב- 30 בינואר 2020. האם אזורי המשולש המיני ואזור המעבר הצמודים אליו, יחד, לא יווצרו משולש נוסף?

רעיון נוסף שיש לקחת בחשבון: למשולשים יש 3 זוויות (מי היה מנחש?); עם זאת, הייתי מניח כי איך שאתה מתאר משולש, באמצעות זוויות כאמור, יפיק משולשים שונים. בהינתן משולש T, עם קודקודים A, B ו- C, t-one אכן יכול להיות מתואר על ידי ABC, כאשר B הוא הזווית המרכזית. אני מציע כי t-two, שתואר על ידי BAC, הוא שונה. באופן דומה עבור BCA.

אם ניקח מקרה מסוים, משולשים בזווית ישרה, נוכל לגזור פונקציות סינוס, קוסינוס ומשיק (SOH, CAH, TOA). אם היינו מיישמים זאת על המשולש (ונרפה את דרישת הזווית הימנית, זה יכול להיות ש- BAC שונה מ- CAB. כמובן, יוצאים מן הכלל עבור משולשים איזוסקוליים ומשולשים (עם האחרונים היו רק 3 הגדרות משולש ברורות).

לא ממש חשבתי כיצד לכמת כל הצעה (והפעלת האחרונה לאחר הקודמת תגדיל את הספירה עדיין), כך שאין לי מספר קל לשימוש בעדכון חשוב ומעודכן (אם מצאתם את הרעיונות שלי כדאיים עדכון).

עשיתי זאת, ג'יימס. ואני אחכה. בהתחלה, החלטתי לנקוט דקירה אחת אחרונה כדי להבין כמה משולשים נוספים אפשר לתת לכללים הכאווטיים החדשים שלנו, והגעתי לגיל 43, בסך הכל 61:

עם זאת, אני די בטוח שמישהו שקורא את זה יאמר לי מהר מאוד שאני שוב טועה ויגיש הוכחות של משולשים נסתרים עוד יותר, שולחים אותי חור נוסף של ארנב בדרך הארוכה והמתפתלת לסופו של דבר אי שפיות. (הערה צדדית: לא ראיתי את אשתי בשלושה ימים. אנא אמור לה שאני אוהב אותה.) אז אני מוציא אתגר אחרון אחרון: אם אתה יכול למצוא את המשולשים האפשריים ביותר בתמונה המקורית, הראה לי את העבודה שלך, והוכיח באופן מוחלט העליונות שלך, אני אעדכן את הסיפור הזה פעם אחת אחרונה וארגיש אותך כמלך המשולש או המלכה, עכשיו וגם לנצח. מהירות אלוהים.